funkcja kwadratowa

Witam!!!

Mam na imię Marcin i chcę Cię wziąść w podróż po postaciach funkcji kwadratowej. Postaram się opisać je jak najdokładniej, ale również zagadnienia bardzo związane z funkcją kwadratową jak miejsca zerowe.

Powodzenia

Funkcję kwadratową niepełną nazywamy taką funkcją w której b = 0 lub c = 0, np.:

f(x) = 2x² – 5 , b = 0

lub

f(x) = 4x² + 3x , c = 0

Są to przypadki, w których do obliczania miejsc zerowych nie trzeba używać delty.

Jeżeli b = 0 miejsce zerowe oblicza się w następujący sposób:

2x² – 5 = 0

2x² = 5

x² = 5/2

x = √5  ∨  -√5

Ważne jest to, że jeżeli b>0 to równanie nie ma rozwiązania, ponieważ nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej.

Jeżeli c = 0 miejsce zerowe oblicza się w następujący sposób:

4x² + 3x = 0

x(4x + 3) = 0

Otóż iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero, więc:

x(4x + 3) = 0 wtedy gdy x = 0 ∨ 4x + 3 = 0

x = 0  ∨  4x = -3

x = 0  ∨  x = -3/4

Wydaje się, że postać iloczynowa i kanoniczna nie mają nic wspólnego. Jedynie co je pośrednio łączy są współczynniki postaci ogólnej.

Jednak jeżeli dokładniej się przyjrzymy okaże się, że nie poprzednia teza jest nie prawdą.

Jak na obrazku przedstawiono, wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny. W tym przypadku względem osi OY. Pytanie brzmi, jak wyznaczyć równanie prostej będącej symetryczną?
Odpowiedź nie jest zbyt prostą. Po pierwsze trzeba ustalić jakimi danymi dysponujemy. Mamy do dyspozycji wszystkie wartości funkcji, w tym szczególnie miejsca zerowe.
Zauważmy, że oś symetrii przechodzi przez punkt dokładnie pomiędzy miejscami zerowymi. Tak więc oś symetrii można wyznaczyć wzorem:

s = (x₁ + x₂)/2 

Jeszcze dokładniej analizując wykres funkcji okaże się, że oś symetrii przechodzi również przez wierzchołek funkcji.
Z tych dwóch faktów można wyciągnąć wniosek, że:

p = s

Tak więc można wyznaczyć współrzędną „p” wierzchołka i nie jest do tego postać ogólna.

Jeżeli jeszcze dokładniej przyjrzymy się wzorom współrzędnej „p” i miejscu zerowemu w przypadku kiedy wyróżnik równa się zero, okaże się, że są one identyczne.

Funkcją początkową nazywamy taką funkcję, która nie został jeszcze „przesunięta”, np.:

f(x) = 2x²

Funkcją początkową dla:

f(x) = 5(x – 3)² + 4

Jest funkcja:

f_p(x) = 5x²

Drugi przykład:

f(x) = 5x² + 4x + 6

f_p(x) = 5x²

Trzeci przykład:

f(x) = (x – 3)(x + 5)

f_p(x) = 1 * x²

Można więc zauważyć, że funkcją początkową jest:

f_p(x) = ax²

Miejsca zerowe to argumenty funkcji, których wartości są równe zero.
O istnieniu miejsc zerowych decyduje Δ (delta):

Δ = b² – 4 * a * c

Jeżeli :

1. Δ>0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe:

   x₁ = (-b – √Δ)/(2 * a)

   x₂ = (-b + √Δ)/(2 * a)

2. Δ = 0, to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe:

   x₀ = -b/(2 * a)

3. Δ<0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

Funkcja kwadratowa nie może mieć więcej niż dwóch miejsc zerowych.